La congettura di Collatz afferma che tutti i percorsi alla fine conducono al numero uno, indipendentemente dal numero positivo scelto per avviare la sequenza. Sai, ciò che affascina di più i matematici è la ricerca di soluzioni a problemi complessi, un po’ come quando in una avventura si va alla scoperta di segreti nascosti. Nel affrontare questi problemi, gli studiosi si imbatteranno in idee nuove, e a volte, proprio durante questa esplorazione, potrebbero trovare altri enigmi matematici da risolvere.
La cosa interessante è che alcuni di questi problemi richiedono generazioni di matematici e addirittura l’ausilio di supercomputer per essere risolti, come se fossero vere e proprie sfide da affrontare con coraggio e determinazione. Altri, invece, sembrano proprio insoluti, come se la matematica nascondesse ancora dei misteri da svelare.
Ma, sai, c’è una cosa su cui i matematici sono concordi: prima o poi dovremmo essere in grado di risolvere tutti i problemi matematici. È come se ci fosse la convinzione che alla fine ogni segreto sarà svelato, proprio come in una grande avventura in cui si raggiunge sempre la meta.
La storia del problema matematico irrisolto
Vorrei portarvi alla scoperta di un affascinante enigma matematico che da decenni tiene col fiato sospeso gli studiosi di tutto il mondo: la congettura di Collatz, conosciuta anche come “problema 3n1”.
Immagina di trovarsi di fronte a una semplice domanda: se ripeti due operazioni aritmetiche molto banali, alla fine trasformerai ogni numero intero positivo nel numero uno. Sembra semplice, vero? Eppure questa affermazione ha ancora un’enigmatica risposta sfuggente.
La congettura, formulata nel lontano 1937 dal matematico tedesco Lothar Collatz, sostiene che partendo da qualsiasi numero intero positivo, dopo un certo numero di iterazioni, arriverai sempre al numero uno. Il problema è che non è ancora stato dimostrato che questa affermazione sia vera per tutti i numeri interi. Forse con alcuni numeri la sequenza si allontana all’infinito, lasciandoci con più interrogativi che risposte.
I matematici hanno testato milioni di numeri naturali, ma nessuno è riuscito a dimostrare il contrario. Tuttavia, nessuno è riuscito a dimostrarne incondizionatamente la correttezza. Il leggendario matematico ungherese Paul Erdos ha affermato che “la matematica potrebbe non essere pronta per problemi del genere”.
Collatz ha enunciato la sua congettura solo due anni dopo aver ottenuto il dottorato presso l’Università di Berlino. È curioso notare che, nonostante abbia compiuto notevoli progressi nel campo della matematica nel corso della sua carriera, sia noto soprattutto per un problema di novità, uno che potrebbe essere risolto da un gruppo di ragazzi delle elementari. Mentre tutti i calcoli sembrano avvalorare l’idea che la congettura sia vera, il fatto che sia rimasta irrisolta per 86 anni la rende ancora più affascinante.
Ma quanto è affascinante l’arte del mistero della matematica, che costringe la mente umana a tentare di risolvere un enigma così semplice eppure complesso!
Per quale motivo la congettura di Collatz è anche chiamata la sequenza ‘3n 1’?
Il Sequenza di Collatz è nota anche come “sequenza 3n 1” perché è generata iniziando con un qualsiasi numero positivo e seguendo due regole molto semplici: se è pari, dividilo per due, se è dispari, moltiplicalo per tre e aggiungi uno. Quindi, “3n 1”. Segui queste due regole una dopo l’altra e la congettura afferma che, indipendentemente dal numero con cui inizi, arriverai sempre eventualmente al numero uno.
Ad esempio, inizia con il numero sette. Essendo dispari, procedi con la regola del 3n 1, ottenendo 22. Questo numero è pari, quindi devi dimezzarlo, ottenendo 11. Ecco il calcolo per il resto della sequenza: 11 x 3 33 – 33 1 34 – 34 2 17 – 17 x 3 51 – 51 1 52 – 52 2 26 – 26 2 13 – 13 x 3 39 – 39 1 40 – 40 2 20 – 20 2 10 – 10 2 5 – 5 x 3 15 – 15 1 16 – 16 2 8 – 8 2 4 – 4 2 2 – 2 2 1 Quindi, se inizi con il numero sette, la sequenza di Collatz è 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Se lo fai di nuovo partendo dal numero uno, un numero dispari, moltiplichi per tre e aggiungi uno. Da lì arrivi a quattro, che in breve tempo ritorna a uno. Questo innesca il ciclo che non finisce mai.
La sequenza di Collatz è uno dei tanti esempi affascinanti di come schemi ricorrenti possano essere rintracciati nell’universo, mostrandoci la bellezza e l’ordine nascosto dietro ciò che apparentemente sembra casuale. La teoria dei numeri e la matematica stessa possono riservare meraviglie inaspettate, offrendoci uno scorcio dell’infinita complessità e bellezza del mondo che ci circonda.
Scarse scoperte con la ‘sequenza di grandine’
La congettura di Collatz, o come è comunemente conosciuta, la “sequenza di grandine”, rappresenta un interessante enigma matematico che continua a incuriosire gli studiosi di tutto il mondo. Una sorta di stormo di numeri che si alzano e si abbassano, come le pietre di grandine in una nuvola temporalesca, vengono sollevati, accumulano ghiaccio e, dopo essere caduti in una parte inferiore della nuvola, vengono di nuovo sollevati. Alla fine precipitano a terra, seguendo un andamento altalenante che sembra non avere una chiara spiegazione.
Si tratta di un problema che coinvolge un numero infinito di interi, sfuggendo al controllo persino dei più potenti supercomputer che, almeno al momento, non sono in grado di verificare se la congettura sia vera per tutti i numeri naturali.
Recentemente, il matematico Terence Tao ha ottenuto un qualche successo su questa congettura. Tao è un autentico genio, vincitore della medaglia Fields, il più alto riconoscimento matematico, eppure anche lui, nel suo lavoro del 2024, ha utilizzato due “quasi” nel titolo. Le sue conclusioni indicano un nuovo approccio al problema e sottolineano quanto sarebbe raro che un numero si discosti dalla regola di Collatz. Raro, ma non necessariamente inesistente.
Questa è la sfida che caratterizza la congettura di Collatz: trovare una spiegazione plausibile per un fenomeno apparentemente inarrestabile. E proprio questa sfida appassionante è ciò che attrae i matematici di tutto il mondo, che continuano a cercare soluzioni a un enigma che sembra sfuggire persino ai più brillanti cervelli. Se ti interessa cimentarti tu stesso in questa avventura, ricorda di iniziare con numeri composti da almeno 20 cifre. Buona fortuna!